Дано:
- параллелограмм ABCD.
Найти: доказать, что точки пересечения медиан треугольников ABC и CDA лежат на диагонали BD и делят её на три равные части.
Решение:
1. Обозначим точки пересечения медиан треугольников ABC и CDA:
- M1 — точка пересечения медиан треугольника ABC,
- M2 — точка пересечения медиан треугольника CDA.
2. Параллелограмм имеет свойства, что его противоположные стороны равны и параллельны. Диагонали делят его на два треугольника с одинаковой площадью.
3. Рассмотрим координатную систему, где:
- A(0, 0),
- B(a, 0),
- C(a + b, c),
- D(b, c).
4. Для треугольника ABC медианой является отрезок, соединяющий вершины A и среднюю точку стороны BC. Точка пересечения медиан (M1) треугольника ABC находится в средней точке отрезка, соединяющего A, B и C, и вычисляется как:
- M1 = ((A + B + C) / 3) = ((0 + a + (a + b)) / 3, (0 + 0 + c) / 3) = ((2a + b) / 3, c / 3).
5. Для треугольника CDA медианой является отрезок, соединяющий вершины C и среднюю точку стороны DA. Точка пересечения медиан (M2) треугольника CDA находится в средней точке отрезка, соединяющего C, D и A, и вычисляется как:
- M2 = ((C + D + A) / 3) = (((a + b) + b + 0) / 3, (c + c + 0) / 3) = ((a + 2b) / 3, 2c / 3).
6. Теперь найдем уравнение прямой, соединяющей точки M1 и M2. Координаты точек M1 и M2:
- M1 = ((2a + b) / 3, c / 3),
- M2 = ((a + 2b) / 3, 2c / 3).
7. Вектор M1M2 имеет компоненты:
- x: (a + 2b) / 3 - (2a + b) / 3 = (-a + b) / 3,
- y: 2c / 3 - c / 3 = c / 3.
Вектор M1M2 пропорционален вектору BD, так как оба они лежат на диагонали параллелограмма.
8. Поскольку точки M1 и M2 лежат на диагонали BD и образуют с ней параллельные векторы, можно утверждать, что точка пересечения медиан M1 и M2 лежат на диагонали BD.
9. Далее, так как медианы делят треугольники на две равные части, и точки пересечения медиан M1 и M2 делят диагональ на три равные части.
Ответ: Точки пересечения медиан треугольников ABC и CDA лежат на диагонали BD и делят её на три равные части.