Дано:
- основания трапеции равны a и b,
- прямая, параллельная основаниям трапеции, проходит через точку пересечения её диагоналей.
Найти: длину отрезка этой прямой внутри трапеции.
Решение:
1. Пусть основание a — это большее основание, а основание b — меньшее основание, где a > b.
2. Диагонали трапеции пересекаются в точке, которая делит каждую из диагоналей на отрезки, пропорциональные основаниям трапеции. То есть, если мы обозначим длину отрезка, который равен длине прямой, проходящей через точку пересечения диагоналей, как x, то справедливо следующее отношение:
x / (a - x) = b / (a - b).
3. Перепишем это уравнение:
x * (a - b) = b * (a - x).
4. Раскроем скобки:
x * a - x * b = b * a - b * x.
5. Переносим все члены, содержащие x, в одну сторону:
x * a + b * x = b * a + x * b.
6. Объединяем подобные члены:
x * (a + b) = b * a.
7. Теперь найдем x:
x = (b * a) / (a + b).
Ответ: длина отрезка этой прямой внутри трапеции равна (b * a) / (a + b).