дано:
ABC - прямоугольный треугольник, где угол C равен 90 градусов.
AB - гипотенуза треугольника, AC и BC - катеты.
найти:
а) доказать, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, принадлежит гипотенузе;
б) доказать, что медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине.
решение:
а) Доказательство, что центр окружности принадлежит гипотенузе:
Центр окружности, описанной около треугольника, является серединой отрезка, соединяющего два угла, образующие данное основание. В случае прямоугольного треугольника AB, угол C равен 90 градусам, и его противолежащая сторона (гипотенуза) будет самой длинной стороной. Согласно свойству окружностей, в которой радиус проведён из центра описанной окружности к каждой вершине, центр окружности должен находиться на середине гипотенузы. Следовательно, он лежит на отрезке AB.
б) Доказательство, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине:
Обозначим точку D как середину гипотенузы AB. По свойству медианы в треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, разделяет её на две равные части. Также, по теореме о медиане, длина медианы, проведенной к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы.
Используем формулу для длины медианы m, проведенной к гипотенузе:
m = 1/2 * sqrt(2AC^2 + 2BC^2 - AB^2).
Так как ABC - прямоугольный треугольник, то по теореме Пифагора имеем:
AB^2 = AC^2 + BC^2.
Подставим это в уравнение медианы:
m = 1/2 * sqrt(2AC^2 + 2BC^2 - (AC^2 + BC^2))
= 1/2 * sqrt(AC^2 + BC^2)
= 1/2 * AB.
Таким образом, медиана, проведённая к гипотенузе, равна ее половине.
ответ:
а) Центр окружности принадлежит гипотенuze;
б) Медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине.