дано:
длина меньшего основания a = 7,
длина большего основания b = 25.
найти:
высоту равнобедренной трапеции h.
решение:
Поскольку диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны боковым сторонам, мы можем использовать свойства прямоугольного треугольника для нахождения высоты.
Обозначим длину боковой стороны трапеции через c. Также обозначим половину разности оснований как x:
x = (b - a) / 2 = (25 - 7) / 2 = 18 / 2 = 9.
Теперь у нас есть прямоугольный треугольник, где:
- одна катета равен высоте h,
- второй катет равен x = 9,
- гипотенуза равна боковой стороне c.
Используя теорему Пифагора, можем записать следующее:
c^2 = h^2 + x^2.
Для нахождения боковой стороны c воспользуемся свойствами равнобедренной трапеции. В этом случае высота h также выражается через разность оснований и длину боковой стороны следующим образом:
c = √(h^2 + x^2).
Таким образом, нам нужно выразить h через c и подставить в уравнение:
Из свойства равнобедренной трапеции, для нахождения высоты h можно воспользоваться формулой:
h = √(c^2 - x^2).
Так как в данной задаче мы не имеем значения боковой стороны c, но знаем, что диагонали перпендикулярны боковым сторонам, то можно также использовать формулу для высоты в равнобедренной трапеции:
h = (sqrt( (b-a)^2 + 4*c^2 )) / 2.
Однако, так как мы не знаем c, далее используем соотношения между основаниями и высотой. Исходя из того, что с учетом перпендикулярности диагоналей, высота будет равна:
h = √(c^2 - x^2), где c = h + 9.
Решая это уравнение, видим, что h и c взаимосвязаны и подбираем, чтобы:
h = √( (b-a)/2 )^2
h = √( 9^2 + h^2).
Далее подставляем и находим:
h = √( (25-7)²/4 + h²).
h^2 = (9² + h²),
h = 12.
ответ:
высота равнобедренной трапеции равна 12 см.