Дано:
1. Длина меньшей хорды = 8 см.
2. Длина большей хорды = 16 см.
3. Расстояние между хордами = 8 см.
Найти: диаметр окружности.
Решение:
Пусть радиус окружности равен R, а центр окружности находится на оси симметрии. Обозначим расстояния от центра окружности до каждой хорды как d1 и d2.
1. Для меньшей хорды (длиной 8 см) можно использовать теорему о перпендикуляре из центра окружности к хорде. Половина длины хорды равна 4 см (половина от 8 см). Если расстояние от центра до хорды равно d1, то для этой хорды выполняется следующая теорема Пифагора:
R² = d1² + 4²
R² = d1² + 16 (1)
2. Для большей хорды (длиной 16 см) половина длины хорды равна 8 см. Расстояние от центра до этой хорды — d2. Для этой хорды также применим теорему Пифагора:
R² = d2² + 8²
R² = d2² + 64 (2)
3. Из условия задачи расстояние между хордами равно меньшей хорде, то есть:
d2 - d1 = 8 (3)
Теперь решим систему уравнений (1), (2) и (3):
1) Из уравнения (3) выразим d2 через d1:
d2 = d1 + 8
2) Подставим это выражение в уравнение (2):
R² = (d1 + 8)² + 64
R² = d1² + 16d1 + 64 + 64
R² = d1² + 16d1 + 128 (4)
3) Подставим уравнение (1) в уравнение (4):
d1² + 16 = d1² + 16d1 + 128
16 = 16d1 + 128
16d1 = 16 - 128
16d1 = -112
d1 = -112 / 16
d1 = -7
Так как расстояние не может быть отрицательным, берем положительное значение:
d1 = 7
4) Теперь, зная d1, найдем R из уравнения (1):
R² = 7² + 16
R² = 49 + 16
R² = 65
R = √65
Ответ: диаметр окружности равен 2R = 2 * √65 ≈ 16.12 см.