Дано:
Равнобедренный треугольник АВС.
Основание АС = 24 см, высота ВН = 5 см.
Найти:
а) Синус, косинус, тангенс и котангенс угла, образованного высотой ВН с боковой стороной треугольника.
б) Синус, косинус, тангенс и котангенс угла при основании треугольника.
Решение:
а) Найдем угол, образованный высотой ВН с боковой стороной треугольника.
1. В равнобедренном треугольнике ВН — высота, поэтому она делит основание АС пополам. Таким образом, отрезки АМ и МС равны между собой и равны 24 / 2 = 12 см (где М — точка пересечения высоты ВН с основанием).
2. Теперь применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику ВНМ. В нем гипотенуза — это боковая сторона треугольника, катеты — высота ВН = 5 см и половина основания АС = 12 см.
Мы можем найти боковую сторону, используя теорему Пифагора:
ВМ² = ВН² + АМ²
ВМ² = 5² + 12²
ВМ² = 25 + 144
ВМ = √169 = 13 см.
3. Теперь мы можем найти синус, косинус, тангенс и котангенс угла, образованного высотой ВН с боковой стороной.
Синус угла α (угол ВНМ) = противолежащий катет / гипотенуза = ВН / ВМ = 5 / 13.
Косинус угла α = прилежащий катет / гипотенуза = АМ / ВМ = 12 / 13.
Тангенс угла α = противолежащий катет / прилежащий катет = ВН / АМ = 5 / 12.
Котангенс угла α = 1 / тангенс α = 12 / 5.
Ответ для а):
Синус угла = 5 / 13
Косинус угла = 12 / 13
Тангенс угла = 5 / 12
Котангенс угла = 12 / 5
б) Теперь найдем синус, косинус, тангенс и котангенс угла при основании треугольника (угол при вершине А или В).
1. Мы уже знаем, что половина основания АС = 12 см, а высота ВН = 5 см.
2. Рассмотрим угол при основании. Это угол при вершине А (или В), который можно найти через тангенс. В треугольнике АВН:
Тангенс угла β (угол при основании) = противолежащий катет / прилежащий катет = ВН / АМ = 5 / 12.
Синус угла β = тангенс β × косинус β = (5 / 12) × (12 / 13) = 5 / 13.
Косинус угла β = 12 / 13 (как и в предыдущем вычислении).
Котангенс угла β = 1 / тангенс β = 12 / 5.
Ответ для б):
Синус угла = 5 / 13
Косинус угла = 12 / 13
Тангенс угла = 5 / 12
Котангенс угла = 12 / 5