Дано:
Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см.
Найти:
Синус, косинус, тангенс и котангенс угла, образованного медианой и высотой, проведенными к гипотенузе.
Решение:
1. Для начала найдем гипотенузу треугольника. Для этого применим теорему Пифагора:
Гипотенуза (c) = √(катет1² + катет2²)
c = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 см.
2. Теперь найдем медиану и высоту, проведенные к гипотенузе.
- Медиана, проведенная к гипотенузе, по свойству прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы:
Медиана (m) = c / 2 = 10 / 2 = 5 см.
- Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена через формулу для площади треугольника. Площадь треугольника можно выразить двумя способами:
Площадь (S) = (1/2) * катет1 * катет2 = (1/2) * 6 * 8 = 24 см².
Площадь (S) также можно выразить через высоту и гипотенузу:
S = (1/2) * c * h, где h — высота.
Приравняем два выражения для площади:
(1/2) * 10 * h = 24
10 * h = 48
h = 48 / 10 = 4.8 см.
3. Теперь находим углы, образованные медианой и высотой с гипотенузой.
- Рассмотрим угол α, образованный медианой и гипотенузой. Это угол между медианой и гипотенузой. Мы знаем длины катетов, медианы и высоты, и для нахождения угла α можно использовать косинусную теорему, но проще будет рассчитать тангенс угла через отношение сторон.
Тангенс угла α = высота / медиана = h / m = 4.8 / 5 = 0.96.
Синус угла α = тангенс α * косинус α. Для простоты, поскольку угол прямой, косинус угла равен 1 (так как угол прямой).
Таким образом,
Синус α = 0.96.
Косинус α = 1.
Тангенс α = 0.96.
Котангенс α = 1 / 0.96 = 1.04.
Ответ:
Синус угла α = 0.96
Косинус угла α = 1
Тангенс угла α = 0.96
Котангенс угла α = 1.04