дано:
- острый угол трапеции α = 30°
- радиус вписанной окружности r = 8 см
найти:
- длину средней линии трапеции
решение:
1. В равнобедренной трапеции с вписанной окружностью сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Это важное свойство для трапеций с вписанной окружностью.
2. Пусть основания трапеции равны a и b (где b — большее основание), а боковые стороны равны c.
3. Воспользуемся формулой для длины средней линии трапеции:
средняя линия = (a + b) / 2.
4. Поскольку окружность вписана в трапецию, можно использовать теорему о вписанной окружности для равнобедренных трапеций. Для таких трапеций выполняется условие:
a + b = 2c.
5. Зная радиус окружности и угол при основании, можно найти длины оснований и боковых сторон через радиус окружности и угол. Рассмотрим высоту трапеции h, которая будет равна радиусу окружности, то есть h = r = 8 см.
6. Для нахождения длины боковой стороны c используем связь между радиусом окружности и высотой трапеции через тангенс угла:
tan(30°) = h / (b - a) = 8 / (b - a).
7. Так как tan(30°) = 1 / √3, подставляем:
1 / √3 = 8 / (b - a).
8. Отсюда получаем:
b - a = 8√3 см.
9. Теперь, используя свойство трапеции с вписанной окружностью, можем найти среднюю линию:
средняя линия = (a + b) / 2.
10. С учетом того, что a + b = 2c, получаем:
средняя линия = c = 8√3 см.
ответ:
длина средней линии трапеции равна 8√3 см.