Дано:
В равнобедренном треугольнике боковая сторона относится к основанию как 5 : 6. Биссектриса угла при основании делит высоту, проведённую к основанию, на отрезки, разность которых составляет 4 см.
Найти:
Периметр треугольника.
Решение:
1. Обозначим длину боковой стороны как 5x, а длину основания как 6x. Таким образом, боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5x, а основание — 6x.
2. Пусть высота AD, опущенная из вершины A на основание BC, делится биссектрисой на отрезки AE и ED, где AE = a, ED = b. По условию задачи:
b - a = 4 см.
3. Из условия о делении высоты биссектрисой следует, что:
a / b = AB / AC = (5x) / (5x) = 1. То есть a и b находятся в отношении 1 : 1.
4. Обозначим a = m. Тогда b = m + 4 см. Подставляем эти значения:
m / (m + 4) = 1 / 1.
5. Упростим уравнение:
m = m + 4,
что невозможно, так как предполагается, что m > 0. Попробуем другой подход для нахождения a и b.
6. Поскольку b - a = 4, обозначим a = y и b = y + 4. Теперь подставим это в отношение:
y / (y + 4) = AB / AC = (5x) / (5x) = 1.
7. Это также приводит к ошибке, так как отношения нельзя упростить по одному значению. Переходите к площади.
8. Для нахождения периметра можем использовать свойство треугольников и Pythagorean theorem, чтобы определить длину высоты AD:
h^2 + (3x)^2 = (5x)^2,
h^2 + 9x^2 = 25x^2,
h^2 = 16x^2,
h = 4x.
9. Теперь найдём длины отрезков AE и ED:
AE = y = h * (b/(a+b)) = 4x(6x/(10x)) = 2.4x.
ED = y + 4 = 2.4x + 4.
10. Периметр P будет равен:
P = 2 * боковая сторона + основание = 2 * 5x + 6x = 10x + 6x = 16x.
11. Выразим x через известные значения высот:
4 = 2y = 2 * 2.4x + 4 => 4x - 4 = 0 => x = 1.
Ответ:
Принимаем x = 1, тогда периметр P = 16 * 1 = 16 см.
Периметр треугольника равен 16 см.