Дано:
В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при основании делит высоту, проведённую к основанию, на отрезки длиной 16,5 см и 27,5 см.
Найти:
Отрезки, на которые биссектриса делит боковую сторону треугольника.
Решение:
1. Пусть ABC — равнобедренный треугольник, где AB = AC, и основание BC. Обозначим точку D как основание высоты, проведённой из вершины A, и точку E — точку пересечения биссектрисы с высотой AD.
2. Биссектриса угла при основании делит высоту AD на два отрезка: DE = 16,5 см и EA = 27,5 см. Тогда общая длина высоты AD равна:
AD = DE + EA = 16,5 + 27,5 = 44 см.
3. Так как треугольник равнобедренный, биссектриса делит высоту не только на два отрезка, но и на два равных отрезка на боковых сторонах. Поскольку биссектрисы треугольника делят противоположные стороны в отношении их длин, применим теорему о биссектрисе угла, которая гласит, что биссектриса делит боковые стороны пропорционально длинам смежных оснований.
4. Отрезки, на которые биссектриса делит боковую сторону, будем обозначать как BE и EC, где E — точка пересечения биссектрисы с боковой стороной.
5. Согласно теореме о биссектрисе, отношение отрезков на боковой стороне будет таким же, как отношение отрезков на высоте:
BE / EC = DE / EA.
Подставим значения:
BE / EC = 16,5 / 27,5.
6. Упростим это отношение:
BE / EC = 16,5 / 27,5 = 33 / 55 = 3 / 5.
7. Обозначим длины отрезков боковой стороны, на которые биссектриса делит боковую сторону, как x и y, где x — это отрезок BE, а y — это отрезок EC. Тогда из полученного отношения:
x / y = 3 / 5.
8. Так как треугольник равнобедренный, боковые стороны равны, и их длины можно обозначить как AB = AC = S. Тогда:
x + y = S.
9. Подставим выражение для x через y:
(3 / 5) y + y = S.
Приведём подобные:
(3y + 5y) / 5 = S,
8y / 5 = S.
Отсюда:
y = 5S / 8.
10. Теперь можем найти x:
x = (3 / 5) y = (3 / 5) * (5S / 8) = 3S / 8.
Ответ:
Отрезки, на которые биссектриса делит боковую сторону треугольника, имеют длины 3S / 8 и 5S / 8, где S — длина боковой стороны.