дано:
- Выпуклый четырёхугольник.
- Четыре части, полученные разрезанием четырёхугольника по отрезкам, соединяющим середины его противоположных сторон.
Найти:
- Доказать, что из этих частей можно составить параллелограмм.
Решение:
1. Пусть четырёхугольник ABCD, где AB, BC, CD и DA — его стороны.
2. Пусть M, N, P и Q — середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно.
3. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон (MN, PQ), будут параллельны и равны, так как они соединяют середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника.
4. Четыре части, на которые разрезан четырёхугольник, это:
- Треугольник AMN.
- Треугольник BNP.
- Треугольник CPQ.
- Треугольник DQM.
5. Мы можем рассматривать эти треугольники как составляющие части некоторого параллелограмма. Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны.
6. Отрезки MN и PQ, соединяющие середины противоположных сторон, будут являться равными и параллельными. Следовательно, параллелограмм, составленный из этих частей, будет иметь противоположные стороны, равные и параллельные.
7. Таким образом, из этих четырёх частей можно составить параллелограмм.
Ответ:
Из этих частей можно составить параллелограмм, так как противоположные стороны параллельны и равны.