дано:
Треугольник АВС.
Точки M и N принадлежат соответственно сторонам AB и BC.
Площадь треугольника SMBN равна 12 см².
АМ = 3 см, МВ = 2 см.
MN || AC.
найти:
площадь трапеции AMNC.
решение:
1. Рассмотрим треугольник АВС, в котором проведены отрезки, и точку пересечения отрезков MN с основанием AC, параллельным стороне MN.
2. Площадь треугольника SMBN равна 12 см², а из условия задачи мы знаем, что MN || AC, следовательно, трапеция AMNC и треугольник ABM являются схожими.
Площадь треугольника АВС можно разделить на два треугольника: один — SMBN, а второй — AMSC. Мы знаем, что площадь треугольника SMBN = 12 см², и площади этих двух треугольников пропорциональны квадратам длины соответствующих сторон, так как треугольники схожи.
3. Сначала вычислим отношение сторон. Из условия задачи:
АМ / МВ = 3 / 2.
Это отношение будет одинаковым для высот, проведенных из точек M и N.
4. Площадь треугольника АВС будет пропорциональна площади треугольников AMB и BNC. Так как треугольники AMB и BNC схожи, их площади также будут пропорциональны квадрату отношения сторон.
Таким образом, площадь трапеции AMNC равна разности площади треугольника АВС и площади треугольника SMBN. Так как площади треугольников AMB и BNC пропорциональны сторонам, можем записать:
Площадь трапеции AMNC = площадь треугольника АВС - площадь треугольника SMBN.
5. Площадь треугольника АВС можно найти через его площадь, пропорциональную площади малого треугольника. Из условия задачи мы знаем, что площадь треугольника SMBN составляет 12 см², и на основании данных о пропорции сторон (3:2) можем рассчитать площадь трапеции.
Ответ: площадь трапеции AMNC = 18 см².