Для решения данной задачи нужно использовать формулу для амплитуды колебаний гармонического осциллятора:
A = F / (m * w^2),
где A - амплитуда колебаний, F - сила, действующая на осциллятор, m - его масса, w - угловая частота.
Сначала определим угловую частоту осциллятора. Для этого воспользуемся формулой связи между частотой и угловой частотой:
w = 2 * pi * f,
где f - частота колебаний.
Подставим известные значения:
w = 2 * pi * 400 Гц ≈ 2513 рад/с.
Далее, найдем массу камертона. Поскольку ширина камертона составляет 0,2 мм, то его можно рассматривать как стержень длиной l = 0,2 мм и круглого сечения радиусом r = 0,1 мм. Масса такого стержня может быть вычислена по формуле:
m = rho * V,
где rho - плотность материала, V - объем стержня.
Для металла, из которого обычно изготавливают камертоны, плотность rho примерно равна 8000 кг/м^3. Объем стержня можно найти, используя формулу для объема цилиндра:
V = pi * r^2 * l.
Подставим известные значения:
V = pi * (0,110^-3 м)^2 * 0,210^-3 м ≈ 6,2810^-10 м^3,
m = 8000 кг/м^3 * 6,2810^-10 м^3 ≈ 5*10^-6 кг.
Наконец, определим силу F, действующую на кончик камертона. По определению, ускорение a частицы связано со временем t и силой F, действующей на эту частицу, соотношением:
a = F / m.
Для колебания гармонического осциллятора максимальное ускорение равно A * w^2, следовательно:
F / m = A * w^2.
Из этого соотношения можно выразить искомую амплитуду A:
A = F / (m * w^2).
Для нахождения силы F воспользуемся формулой для силы, действующей на кончик k камертона:
F = k * x,
где k - коэффициент упругости камертона, x - смещение кончика камертона от положения равновесия.
Коэффициент упругости камертона можно определить по формуле:
k = E * S / l,
где E - модуль Юнга материала, из которого изготовлен камертон, S - площадь поперечного сечения камертона, l - его длина.
Для металла модуль Юнга составляет примерно 2*10^11 Па. Площадь сечения камертона можно найти, используя формулу для площади круга:
S = pi * r^2.
Подставим известные значения:
S = pi * (0,110^-3 м)^2 ≈ 3,1410^-8 м^2,
k = 210^11 Па * 3,1410^-8 м^2 / 0,210^-3 м ≈ 3,1410^6 Н/м.
Смещение кончика камертона можно оценить как половину его ширины, т.е. x = 0,1 мм/2 = 0,05 мм = 0,05*10^-3 м.
Теперь мы можем найти силу F:
F = k * x = 3,1410^6 Н/м * 0,0510^-3 м ≈ 157 Н.
Осталось только подставить все известные величины в формулу для амплитуды A:
A = F / (m * w^2) ≈ 157 Н / (5*10^-6 кг * (2513 рад/с)^2) ≈ 0,012 м/с^2.
Таким образом, амплитуда ускорения кончика камертона составляет примерно 0,012 м/с^2.