Question

В цехе работают 3 рабочих, изготовляя изделия одного наименования. Известна вероятность брака наудачу взятого изделия, бракованным оно и оказалось. Переоценили вероятности брака для первого рабочего, она оказалась 0,6, а для второго – 0,3. Чему равна вероятность брака у третьего рабочего, при условии, что извлеченное наудачу изделие оказалось браковано?

Answer 1

Для решения этой задачи также воспользуемся формулой Байеса.

Пусть:
- Событие A: изделие оказалось бракованным
- Событие B1: изделие изготовил первый рабочий
- Событие B2: изделие изготовил второй рабочий
- Событие B3: изделие изготовил третий рабочий

Мы знаем следующие данные:
- P(B1) = 1/3 (вероятность того, что изделие изготовил первый рабочий)
- P(B2) = 1/3 (вероятность того, что изделие изготовил второй рабочий)
- P(B3) = 1/3 (вероятность того, что изделие изготовил третий рабочий)
- P(A|B1) = 0.6 (вероятность того, что изделие браковано, если его изготовил первый рабочий)
- P(A|B2) = 0.3 (вероятность того, что изделие браковано, если его изготовил второй рабочий)
- Мы ищем P(A|B3): вероятность брака у третьего рабочего, при условии, что изделие оказалось бракованным

Используем формулу Байеса:
P(A|B3) = P(B3|A) = P(A|B3) * P(B3) / P(A)

Так как P(A) = P(A|B1) * P(B1) + P(A|B2) * P(B2) + P(A|B3) * P(B3), где знаменатель представляет собой общую вероятность брака, мы можем найти P(A|B3) следующим образом:
P(A|B3) = P(A) - P(A|B1) * P(B1) - P(A|B2) * P(B2) / P(B3)

Подставим известные значения и рассчитаем:
P(A) = 0.6 * (1/3) + 0.3 * (1/3) + P(A|B3) * (1/3)
P(A) = 0.2 + 0.1 + P(A|B3) * (1/3)
P(A) = 0.3 + P(A|B3) * (1/3)
P(A) - 0.3 = P(A|B3) * (1/3)
P(A|B3) = (P(A) - 0.3) * 3

Теперь мы можем рассчитать P(A|B3):
P(A|B3) = (0.6 - 0.3) * 3
P(A|B3) = 0.3 * 3
P(A|B3) = 0.9

Итак, вероятность брака у третьего рабочего, при условии, что изделие оказалось бракованным, составляет 0.9 или 90%.