Дано:
Радиус шара: R
Плотность заряда: ρ
Расстояние от центра шара: r
Решение:
Для нахождения зависимости напряженности и потенциала электрического поля внутри шара, воспользуемся принципом суперпозиции.
Рассмотрим заряд dQ, расположенный внутри шара. Заряд dQ можно выразить через объемный заряд ρ и элемент объема dV:
dQ = ρ * dV
Зависимость напряженности электрического поля dE, создаваемого элементом объема dQ, от расстояния r по закону Кулона равна:
dE = k * (dQ / r²)
где k - электростатическая постоянная.
Объем элемента dV можно выразить через радиус r и угол θ:
dV = r² * sinθ * dθ * dφ * dr
Интегрируя по всем углам и радиусу, получаем полную напряженность электрического поля E:
E = ∫∫∫ dE = ∫∫∫ k * (ρ * r² * sinθ * dθ * dφ * dr / r²)
Выполняя интегрирование, получаем:
E = ∫∫∫ k * ρ * sinθ * dθ * dφ * dr
= k * ρ ∫∫∫ sinθ * dθ * dφ * dr
= k * ρ * (4π)
Таким образом, зависимость напряженности электрического поля E от расстояния r до центра шара равна:
E = k * ρ * (4π)
Для нахождения зависимости потенциала V от расстояния r, воспользуемся формулой:
V = - ∫E · dr
Интегрируя по расстоянию r, получаем:
V = - ∫(k * ρ * (4π)) · dr
= - (k * ρ * (4π)) ∫dr
= - (k * ρ * (4π)) * r + C
где C - константа интегрирования.
Ответ:
Зависимость напряженности электрического поля от расстояния r до центра шара: E = k * ρ * (4π).
Зависимость потенциала электрического поля от расстояния r до центра шара: V = - (k * ρ * (4π)) * r + C.