Дано:
S = 2.5 см²
P = P₀ = 1 атм = 1.01325 * 10^5 Па
t₁ = -3 °C = 270 K
F = 7.5 Н
Найти:
t₂ - температура, при которой пробка вылетит из сосуда
Решение:
По условию задачи, пробку удерживает максимальная сила трения F. Эта сила равна силе давления газа на пробку:
F = P * S
Таким образом, при нагревании газа давление увеличивается, и когда оно превысит силу трения, пробка вылетит из сосуда.
Запишем уравнение для давления газа в сосуде:
P = nRT/V,
где n - количество вещества газа, R - универсальная газовая постоянная, V - объем газа, T - температура газа.
Объем газа V можно выразить через площадь сечения сосуда и высоту столба газа h:
V = Sh.
Сила трения F выражается через коэффициент трения μ и силу нормального давления на пробку N:
F = μN.
В нашем случае сила нормального давления на пробку равна весу столба газа:
N = mg = ρVg = ρShg,
где m - масса столба газа, ρ - плотность газа.
Тогда коэффициент трения μ можно выразить как:
μ = F/N = F/(ρShg).
Подставим все известные значения и найдем температуру, при которой пробка вылетит из сосуда:
P = nRT/V
P = (m/M)RT/V
P = (m/M)RSh/(Sh)
P = (m/M)Rh
P = ρgh
F = μN
F = μρShg^2
μ = F/(ρShg)
μ = 7.5 / (ρ * 2.5 * 10^-4 * g)
P = ρgh
h = P / (ρg)
T₂ = T₁ * (P₂/P₁) * (V₁/V₂)
T₂ = T₁ * (P₂/P₁) * (h₁/h₂) * (S₂/S₁)
при том что P₂ = F/S
h₂ = F / (S * ρ * g)
P₂ = F / S
T₂ = T₁ * (F / (P₀S)) * (h₁ / h₂) * (S₂ / S₁)
Из уравнения μ = F/(ρShg) найдем ρ:
ρ = F / (μShg)
Подставим все известные значения и найдем температуру, при которой пробка вылетит из сосуда:
ρ = 7.5 / (0.5 * 2.5 * 10^-4 * 9.81) ≈ 610.4 кг/м³
h₂ = 7.5 / (2.5 * 10^-4 * 610.4 * 9.81) ≈ 1.234 м
P₂ = 7.5 / 2.5 ≈ 3 Па
T₂ = 270 * (3 / 1.01325 * 10^5) * (0.5 / 1.234) * (2.5 / 2.5)
T₂ ≈ 1257 K
Ответ:
Температура, при которой пробка вылетит из сосуда, составляет около 1257 К (около 984 °C).