дано:
площадь поперечного сечения S = 10 см² = 10 * 10^(-4) м² = 0.001 м²,
внешнее давление P_внеш = 10^5 Па,
ускорение a = 20 м/с²,
объем газа под поршнем уменьшается в 1,5 раза (V' = V / 1.5).
найти:
массу поршня m.
решение:
1. Давление под поршнем до подъема будет равно внешнему давлению плюс давление, создаваемое массой поршня:
P_1 = P_внеш + P_поршня,
где P_поршня = m * g / S,
а g — ускорение свободного падения (где g ≈ 9.81 м/с²).
2. После уменьшения объема газа по закону Бойля-Мариотта, давление увеличивается, и мы можем записать:
P_2 * V' = P_1 * V.
3. Так как объем газа уменьшился в 1,5 раза, можно выразить это уравнение так:
P_2 = (P_1 * V) / (V / 1.5) = 1.5 * P_1.
4. Теперь подставляем значение P_1:
P_2 = 1.5 * (P_внеш + P_поршня).
5. Теперь поскольку P_2 также равно внешнему давлению плюс давление, создаваемое массой поршня при движении:
P_2 = P_внеш + P_поршня' = P_внеш + (m * (g + a)) / S,
где P_поршня' — давление, создаваемое поршнем при ускорении.
6. Таким образом, мы имеем два уравнения для P_2:
1.5 * (P_внеш + m * g / S) = P_внеш + (m * (g + a)) / S.
7. Раскроем скобки:
1.5 * P_внеш + 1.5 * (m * g / S) = P_внеш + (m * (g + a)) / S.
8. Переносим все на одну сторону уравнения:
1.5 * P_внеш - P_внеш + 1.5 * (m * g / S) - (m * (g + a)) / S = 0.
9. Упрощаем уравнение:
0.5 * P_внеш + ((1.5 * m * g) - (m * (g + a))) / S = 0.
10. Умножим обе стороны на S:
0.5 * P_внеш * S + 1.5 * m * g - m * (g + a) = 0.
11. Перепишем:
0.5 * P_внеш * S + 1.5 * m * g - m * g - m * a = 0.
12. Упрощаем:
0.5 * P_внеш * S + 0.5 * m * g - m * a = 0.
13. Теперь выразим массу поршня:
0.5 * m * g = m * a - 0.5 * P_внеш * S.
14. Выразим m:
m * (a - 0.5 * g) = 0.5 * P_внеш * S.
15. Теперь подставим известные значения:
m * (20 - 0.5 * 9.81) = 0.5 * 10^5 * 0.001.
16. Рассчитаем:
m * (20 - 4.905) = 0.5 * 100000 * 0.001,
m * 15.095 = 50,
m = 50 / 15.095 ≈ 3.31 кг.
ответ:
Масса поршня составляет примерно 3.31 кг.