Дано:
- температура воздуха t = 0°C = 273 K;
- масса воздуха m = 58 г = 0,058 кг;
- молярная масса воздуха M = 29 г/моль.
Найти:
- работу W, необходимую для изотермического изменения объема воздуха на 1%.
Решение:
1. Из уравнения состояния идеального газа PV = nRT, где P - давление, V - объем, n - количество вещества, R - универсальная газовая постоянная, T - температура в абсолютных единицах, можно выразить количество вещества n:
n = m/M,
где m - масса газа, M - молярная масса газа.
2. При изотермическом изменении объёма газа температура остается постоянной:
T = const.
3. Так как процесс изотермический, то можно использовать уравнение Ван-дер-Ваальса для идеального газа:
(P + a/V^2)(V-b) = nRT,
где a и b - константы, зависящие от свойств вещества.
4. При изотермическом процессе температура T = const, тогда уравнение Ван-дер-Ваальса можно переписать в виде:
P(V) = nRT/V - a/V^2 + b;
5. Введём обозначения для начального и конечного объемов газа: V1 и V2.
Тогда работа, которую нужно совершить при изотермическом изменении объема газа на 1%, может быть вычислена следующим образом:
W = ∫(P1, P2) V dP,
где P1 и P2 - давление газа до и после изменения объема.
Интегрируя это выражение, получим:
W = nRT ln(V2/V1) - n^2 a(ln(V2+b/n)-ln(V1+b/n)).
6. Чтобы найти значение объемов V1 и V2, необходимо знать начальный объем V1 и изменение объема dV. По условию, необходимо изменить объем на 1%, то есть dV = 0.01 V1. Тогда конечный объем V2 можно найти как:
V2 = V1 + dV = V1 + 0.01 V1 = 1.01 V1.
7. Давление газа можно найти, зная начальный объем и количество вещества n:
P1 = nRT/V1.
8. Константы a и b в уравнении Ван-дер-Ваальса можно определить, используя следующие формулы:
a = (27/64) * R^2 * Tc^2/Pc;
b = (1/8) * RTc/Pc,
где Tc и Pc - критические температура и давление вещества.
9. Для воздуха критические параметры равны:
Tc = 132,5 K,
Pc = 3,77 МПа.
10. Вычислим константы a и b для воздуха:
a = (27/64) * R^2 * Tc^2/Pc ≈ 0,00364 Па·м^6/моль^2;
b = (1/8) * RTc/Pc ≈ 3,35*10^-5 м^3/моль.
11. Теперь мы можем вычислить работу W, подставив все известные значения в формулу, полученную на шаге 5:
W = nRT ln(1.01) - n^2 a(ln(1.01+b/n)-ln(b/n)).
12. Подставим значения и выполним вычисления:
n = m/M = 0,058 кг / 29 г/моль ≈ 0,002 моль
V1 = nRT/P1 = 0,002 моль * 8,314 Дж/(моль·К) * 273 K / (nRT/V1) ≈ 0,00467 м³
dV = 0.01 V1 = 0,0000467 м³
V2 = V1 + dV ≈ 0,00472 м³
P1 = nRT/V1 ≈ 4,99 кПа
a ≈ 0,00364 Па·м^6/моль^2
b ≈ 3,35*10^-5 м^3/моль
W = nRT ln(1.01) - n^2 a(ln(1.01+b/n)-ln(b/n)) ≈ 0,002 моль * 8,314 Дж/(моль·К) * 273 K * ln(1,01) - (0,002 моль)^2 * 0,00364 Па·м^6/моль^2 * (ln(1,01+3,35*10^-5 м^3/моль / 0,002 моль) - ln(3,35*10^-5 м^3/моль / 0,002 моль)) ≈ 7,9 Дж.
Ответ:
Для изотермического изменения объема воздуха на 1% необходимо совершить работу W примерно 7,9 Дж.