Дано: вероятность выхода из строя одного конденсатора за сутки (p) = 0.2, количество независимо работающих конденсаторов (n) = 100.
Найти: вероятность того, что за сутки из 100 независимо работающих конденсаторов выйдут из строя 20.
Решение:
Мы можем использовать биномиальное распределение для решения этой задачи. Вероятность того, что из n испытаний по схеме Бернулли произойдет k успехов, задается формулой:
P(X=k) = C_n^k * p^k * (1-p)^(n-k),
где
C_n^k - число сочетаний из n по k,
p - вероятность успеха в одном испытании,
k - количество успехов,
n - общее количество испытаний.
В данном случае мы имеем:
p = 0.2,
n = 100,
k = 20.
Вычислим вероятность:
P(X=20) = C_100^20 * (0.2)^20 * (0.8)^80.
Число сочетаний C_100^20 можно вычислить как:
C_100^20 = 100! / (20! * (100-20)!).
Рассчитаем это значение и вероятность:
C_100^20 = 100! / (20! * 80!),
C_100^20 ≈ 2.71 * 10^17.
P(X=20) = (2.71 * 10^17) * (0.2)^20 * (0.8)^80,
P(X=20) ≈ 0.0996.
Ответ:
Вероятность того, что за сутки из 100 независимо работающих конденсаторов выйдут из строя 20, составляет примерно 0.0996.