Дано:
Из отрезка [2; 5] случайным образом выбирается отрезок [a; 6] длины 1.
Найти:
Вероятность события:
а) a < 3;
б) b < 4;
в) "середина отрезка [a; b] заключена между числами 3 и 4";
г) "середина отрезка [a; b] заключена между числами 2,5 и 4,5".
Решение:
а) Вероятность того, что a < 3 определяется длиной отрезка [a; 3]. Из условия задачи следует, что этот отрезок должен полностью находиться в пределах отрезка [2; 5]. Следовательно, вероятность равна (3 - 2) / (5 - 2) = 1/3.
б) Аналогично, вероятность того, что b < 4 определяется длиной отрезка [a; 4], который также должен полностью находиться в пределах отрезка [2; 5]. Таким образом, вероятность равна (4 - 2) / (5 - 2) = 2/3.
в) Для того чтобы середина отрезка [a; b] была заключена между 3 и 4, сам отрезок [a; b] должен пересекаться с интервалом (3; 4). Так как длина отрезка [a; b] равна 1, то вероятность этого события равна длине пересечения интервала (3; 4) с отрезком [2; 5], что составляет 1 - ((5-4) + (3-2)) / (5-2) = 1 - (1 + 1) / 3 = 1 - 2/3 = 1/3.
г) Аналогично, для того чтобы середина отрезка [a; b] была заключена между 2,5 и 4,5, сам отрезок [a; b] должен пересекаться с интервалом (2,5; 4,5). Так как длина отрезка [a; b] равна 1, то вероятность этого события равна длине пересечения интервала (2,5; 4,5) с отрезком [2; 5], что составляет 1 - ((5-4,5) + (2,5-2)) / (5-2) = 1 - (0,5 + 0,5) / 3 = 1 - 1/3 = 2/3.
Ответ:
а) Вероятность того, что a < 3 составляет 1/3.
б) Вероятность того, что b < 4 составляет 2/3.
в) Вероятность того, что середина отрезка [a; b] заключена между 3 и 4 составляет 1/3.
г) Вероятность того, что середина отрезка [a; b] заключена между 2,5 и 4,5 составляет 2/3.