Дано:
- Числовой отрезок [2; 7].
- Случайно выбирается отрезок [a; b] длиной 1, где b = a + 1.
- Отрезок [c; 6] также имеет длину 1, и c = 5.
Найти:
а) Вероятность события: середина отрезка [a; b] заключена между точками 3 и 4.
б) Вероятность события: середина отрезка [a; b] заключена между точками 2,5 и 4,5.
Решение:
1. Определим возможные значения для a:
- Поскольку отрезок [a; b] имеет длину 1, то a может принимать значения из интервала [2; 6], так как b = a + 1 не должно превышать 7.
2. Найдем середину отрезка [a; b]:
- Середина M отрезка [a; b] равна M = (a + b) / 2 = (a + (a + 1)) / 2 = (2a + 1) / 2.
Часть а:
Для события: середина отрезка [a; b] заключена между точками 3 и 4.
Необходимо, чтобы:
3 < (2a + 1) / 2 < 4.
Решим эти два неравенства по отдельности.
Первое неравенство:
(2a + 1) / 2 > 3
2a + 1 > 6
2a > 5
a > 2.5.
Второе неравенство:
(2a + 1) / 2 < 4
2a + 1 < 8
2a < 7
a < 3.5.
Таким образом, для события а возможные значения a находятся в интервале (2.5; 3.5).
Длина этого интервала:
3.5 - 2.5 = 1.
Общая длина отрезка [2; 6]:
6 - 2 = 4.
Вероятность P(a) = (длина подходящего отрезка) / (длина всего отрезка) = 1 / 4.
Часть б:
Для события: середина отрезка [a; b] заключена между точками 2,5 и 4,5.
Необходимо, чтобы:
2.5 < (2a + 1) / 2 < 4.5.
Решим эти два неравенства.
Первое неравенство:
(2a + 1) / 2 > 2.5
2a + 1 > 5
2a > 4
a > 2.
Второе неравенство:
(2a + 1) / 2 < 4.5
2a + 1 < 9
2a < 8
a < 4.
Таким образом, для события б возможные значения a находятся в интервале (2; 4).
Длина этого интервала:
4 - 2 = 2.
Вероятность P(b) = (длина подходящего отрезка) / (длина всего отрезка) = 2 / 4 = 1 / 2.
Ответ:
а) Вероятность P(a) = 1 / 4.
б) Вероятность P(b) = 1 / 2.