Дано:
- Числовой отрезок: [0; 1].
- Случайная точка x, выбранная из отрезка.
Найти:
а) Вероятность события 2x < 0,5 или 2x > 0,6.
б) Вероятность события 0,2 < 0,5x < 0,4.
Решение:
а) Для нахождения вероятности события 2x < 0,5 или 2x > 0,6:
1. Рассмотрим первое неравенство:
2x < 0,5
x < 0,5 / 2
x < 0,25.
2. Рассмотрим второе неравенство:
2x > 0,6
x > 0,6 / 2
x > 0,3.
3. Теперь определяем отрезки:
- Для первого неравенства: x ∈ [0; 0,25].
- Для второго неравенства: x ∈ (0,3; 1].
4. Находим длины соответствующих отрезков:
- Длина первого отрезка:
L_1 = 0,25 - 0 = 0,25.
- Длина второго отрезка:
L_2 = 1 - 0,3 = 0,7.
5. Общая длина отрезков, удовлетворяющих условию:
L_а = L_1 + L_2 = 0,25 + 0,7 = 0,95.
6. Длина всего отрезка [0; 1]:
L_всего = 1 - 0 = 1.
7. Вероятность P_а:
P_а = L_а / L_всего = 0,95 / 1 = 0,95.
б) Для нахождения вероятности события 0,2 < 0,5x < 0,4:
1. Перепишем два неравенства:
Первое неравенство:
0,2 < 0,5x
x > 0,2 / 0,5
x > 0,4.
Второе неравенство:
0,5x < 0,4
x < 0,4 / 0,5
x < 0,8.
2. Объединяя оба неравенства, получаем:
0,4 < x < 0,8.
3. Определим отрезок, удовлетворяющий этому условию:
x ∈ (0,4; 0,8).
4. Длина этого отрезка:
L_б = 0,8 - 0,4 = 0,4.
5. Длина всего отрезка [0; 1]:
L_всего = 1 - 0 = 1.
6. Вероятность P_б:
P_б = L_б / L_всего = 0,4 / 1 = 0,4.
Ответ:
а) Вероятность события 2x < 0,5 или 2x > 0,6 равна 0,95.
б) Вероятность события 0,2 < 0,5x < 0,4 равна 0,4.