Дано: Вероятность успеха в каждом испытании равна p, а вероятность неудачи равна q = 1 — p.
Найти:
а) Вероятность того, что успех случится при втором испытании.
б) Вероятность того, что успех случится позже четвёртого испытания.
в) Вероятность того, что успех случится не позже шестого испытания.
г) Вероятность того, что для постижения успеха потребуется от трёх до пяти испытаний.
Решение с расчетом:
1. Рассчитаем вероятность успеха при каждом отдельном испытании:
P(успех) = p
а) Вероятность того, что успех случится при втором испытании:
P(успех на втором испытании) = (1 - p) * p = pq
б) Вероятность того, что успех случится позже четвёртого испытания:
P(успех после четвёртого испытания) = 1 - P(успех на четвёртом испытании)
P(успех на четвёртом испытании) = (1 - p)^3 * p
P(успех после четвёртого испытания) = 1 - (1 - p)^3 * p = 1 - (1 - p)^3 * p
в) Вероятность того, что успех случится не позже шестого испытания:
P(успех не позже шестого испытания) = 1 - P(успех после шестого испытания)
P(успех после шестого испытания) = (1 - p)^5 * p
P(успех не позже шестого испытания) = 1 - (1 - p)^5 * p
г) Вероятность того, что для постижения успеха потребуется от трёх до пяти испытаний:
P(от 3 до 5 испытаний) = P(успех на третьем испытании) + P(успех на четвёртом испытании) + P(успех на пятом испытании)
P(успех на третьем испытании) = (1 - p)^2 * p
P(успех на пятом испытании) = (1 - p)^4 * p
P(от 3 до 5 испытаний) = (1 - p)^2 * p + (1 - p)^3 * p + (1 - p)^4 * p
Ответ:
а) P(успех на втором испытании) = pq
б) P(успех после четвёртого испытания) = 1 - (1 - p)^3 * p
в) P(успех не позже шестого испытания) = 1 - (1 - p)^5 * p
г) P(от 3 до 5 испытаний) = (1 - p)^2 * p + (1 - p)^3 * p + (1 - p)^4 * p