Дано:
Общее количество точек (n) = 10
Количество точек, попавших в квадрат (m1) = 4
Количество точек, попавших в нижний сегмент (m2) = 3
Количество точек, попавших в оставшиеся три сегмента (m3) = 1
Найти:
Вероятность такого распределения точек.
Решение:
Для нахождения вероятности данного события воспользуемся формулой мультиномиального коэффициента. Вероятность размещения указанного числа точек в каждом зоне круга можно выразить следующим образом:
P = (n! / (m1! * m2! * m3!)) * (p1^m1) * (p2^m2) * (p3^m3)
где n! - факториал от общего количества точек
m1, m2, m3 - количество точек, попавших в соответствующие зоны
p1, p2, p3 - вероятность попадания точки в соответствующую зону
Теперь мы можем подставить значения и рассчитать вероятность:
P = (10! / (4! * 3! * 1!)) * (p1^4) * (p2^3) * (p3^1)
Так как вероятность попадания точки в определенную область пропорциональна отношению площадей этих областей, то вероятность для каждой области будет равна отношению площади этой области к общей площади круга.
Площадь квадрата к площади круга: Aквадрата/Aкруга = (сторона квадрата)^2 / (диаметр круга)^2 = (1/√2)^2 / 2^2 = 1/2π
Площадь нижнего сегмента к площади круга: Aнижнего сегмента/Aкруга = (площадь сектора - площадь треугольника) / πr^2 = ((π/6) - (sqrt(3)/4)) / π = (π/6 - sqrt(3)/4) / π
Площадь каждого из оставшихся трех сегментов к площади круга: Aоставшегося сегмента/Aкруга = (площадь сектора - площадь треугольника) / πr^2 = ((π/12) - (sqrt(3)/8)) / π = (π/12 - sqrt(3)/8) / π
Теперь вычислим вероятность:
P = (10! / (4! * 3! * 1!)) * ((1/2π)^4) * (((π/6 - sqrt(3)/4) / π)^3) * ((π/12 - sqrt(3)/8) / π)
P ≈ 0.0186
Ответ:
Вероятность такого распределения точек составляет приблизительно 0.0186.