Дано:
n точек независимо друг от друга бросаются на отрезок [0, a]. Пусть Yn — крайняя справа точка.
Найти:
Доказать, что Yn стремится к a по вероятности при n стремящемся к бесконечности.
Решение с расчетом:
Для доказательства того, что Yn стремится к a по вероятности, мы должны показать, что вероятность того, что Yn отклонится от значения a на любую заданную величину ε > 0, стремится к нулю при n стремящемся к бесконечности.
Математически это можно выразить следующим образом:
lim P(|Yn - a| > ε) = 0 при n -> ∞,
где |Yn - a| означает расстояние между Yn и a.
Используем свойство равномерного распределения точек на отрезке [0, a]. Вероятность того, что конкретная точка упадет в интервал длиной ε вокруг значения a, равна ε/a. Так как n точек независимы, вероятность для всех n точек будет равна (ε/a)^n.
Теперь проверим lim (ε/a)^n при n -> ∞.
Если ε/a < 1, то lim (ε/a)^n = 0 при n -> ∞.
Это означает, что вероятность отклонения крайней правой точки от значения a на величину ε стремится к нулю при увеличении n.
Таким образом, Yn стремится к a по вероятности при n стремящемся к бесконечности.
Ответ:
Yn стремится к a по вероятности при n стремящемся к бесконечности.