Дано:
Игральную кость бросают несколько раз: а) 3 раза; б) 10 раз; в) 120 раз; г) п раз.
Найти:
Дисперсию и стандартное отклонение случайной величины "сумма выпавших очков при бросаниях игральной кости".
Решение:
Мы знаем, что дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий. Таким образом, если мы бросаем игральную кость n раз, то дисперсия суммы выпавших очков равна n * дисперсия выпавших очков при одном броске.
Для шестигранной игральной кости с вероятностью выпадения каждого значения от 1 до 6 равной 1/6, математическое ожидание (среднее значение) выпавших очков E(X) равно:
E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6
E(X) = 3.5
Дисперсия для каждого броска равна:
Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2
Var(X) = ((1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2)/6) - 3.5^2
Var(X) = (91/6) - 12.25
Var(X) ≈ 2.917
Теперь найдем дисперсию и стандартное отклонение для разного числа бросков:
а) Для 3 бросков:
Дисперсия = 3 * Var(X) = 3 * 2.917 ≈ 8.751
Стандартное отклонение = √(3 * Var(X)) ≈ √8.751 ≈ 2.959
б) Для 10 бросков:
Дисперсия = 10 * Var(X) = 10 * 2.917 = 29.17
Стандартное отклонение = √(10 * Var(X)) = √29.17 ≈ 5.401
в) Для 120 бросков:
Дисперсия = 120 * Var(X) = 120 * 2.917 = 350.04
Стандартное отклонение = √(120 * Var(X)) = √350.04 ≈ 18.710
г) Для п бросков:
Дисперсия = п * Var(X) = п * 2.917
Стандартное отклонение = √(п * Var(X)) = √(п * 2.917)
Ответ:
а) Дисперсия суммы выпавших очков при 3 бросках ≈ 8.751, стандартное отклонение ≈ 2.959.
б) Дисперсия суммы выпавших очков при 10 бросках = 29.17, стандартное отклонение ≈ 5.401.
в) Дисперсия суммы выпавших очков при 120 бросках = 350.04, стандартное отклонение ≈ 18.710.
г) Для п бросков: Дисперсия = п * 2.917, стандартное отклонение = √(п * 2.917).