Question

Независимые испытания аппаратуры повторяются до тех пор, пока она не даст отказ. Вероятность отказа от испытания к испытанию не меняется и равна р. Найти математическое ожидание и дисперсию числа безотказных испытаний.

Answer 1

Дано:
- Вероятность отказа от испытания к испытанию равна p

Найти:
1. Математическое ожидание числа безотказных испытаний
2. Дисперсию числа безотказных испытаний

Решение с расчетом:

Пусть X - количество безотказных испытаний до первого отказа.

Вероятность получить безотказное испытание на i-м шаге: P(X=i) = (1-p)^(i-1)*p

Математическое ожидание:
E(X) = ∑[i=1 до ∞] i * P(X=i)

E(X) = 1 * (1-p)^0*p + 2 * (1-p)^1*p + 3 * (1-p)^2*p + ...
E(X) = p / (1 - (1-p))

E(X) = p / p = 1

Дисперсия:
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
E(X^2) = 1^2 * (1-p)^0*p + 2^2 * (1-p)^1*p + 3^2 * (1-p)^2*p + ...
E(X^2) = 1 * p / (1-(1-p))^2 = p / p^2 = 1/p

Var(X) = 1/p - 1

Ответ:
1. Математическое ожидание числа безотказных испытаний: E(X) = 1
2. Дисперсия числа безотказных испытаний: Var(X) = 1/p - 1