Дано:
- Длина изготовленной детали распределена нормально с математическим ожиданием (μ) = 50 мм
- Фактически длина изготовленных деталей находится в диапазоне от 32 мм до 68 мм
Найти:
Вероятность того, что длина наудачу взятой детали будет более 55 мм
Решение с расчетом:
Для нахождения вероятности P(X > 55) используем стандартное нормальное распределение, где X - значение случайной величины, μ - математическое ожидание, σ - среднеквадратическое отклонение.
Сначала найдем Z-score для значения X = 55:
Z = (X - μ) / σ
Зная, что длина находится в пределах от 32 мм до 68 мм, мы можем использовать z-таблицы для определения вероятности.
Теперь вычислим Z-score для X = 55:
Z = (55 - 50) / σ
Для нахождения σ (среднеквадратического отклонения) воспользуемся свойствами нормального распределения. Известно, что 95% значений лежит в пределах двух стандартных отклонений от математического ожидания.
Таким образом, размах в 2σ составляет 68 - 32 = 36 мм. Это соответствует 95% значений, поэтому одно стандартное отклонение равно 36 / 4 = 9 мм.
Теперь, когда мы знаем σ, можем найти Z-score:
Z = (55 - 50) / 9 ≈ 0.5556
Используя таблицу Z-score, найдем соответствующую вероятность для Z ≈ 0.56, которая составляет примерно 0.2881.
Ответ:
Вероятность того, что длина наудачу взятой детали будет более 55 мм, составляет примерно 0.2881 или около 28.81%.