Автомат штампует детали. Длина изготовленной детали является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием, равным 50 мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее 32 мм и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали будет более 55 мм.
от

1 Ответ

Дано:
- Длина изготовленной детали распределена нормально с математическим ожиданием (μ) = 50 мм
- Фактически длина изготовленных деталей находится в диапазоне от 32 мм до 68 мм

Найти:
Вероятность того, что длина наудачу взятой детали будет более 55 мм

Решение с расчетом:

Для нахождения вероятности P(X > 55) используем стандартное нормальное распределение, где X - значение случайной величины, μ - математическое ожидание, σ - среднеквадратическое отклонение.

Сначала найдем Z-score для значения X = 55:

Z = (X - μ) / σ

Зная, что длина находится в пределах от 32 мм до 68 мм, мы можем использовать z-таблицы для определения вероятности.

Теперь вычислим Z-score для X = 55:

Z = (55 - 50) / σ

Для нахождения σ (среднеквадратического отклонения) воспользуемся свойствами нормального распределения. Известно, что 95% значений лежит в пределах двух стандартных отклонений от математического ожидания.

Таким образом, размах в 2σ составляет 68 - 32 = 36 мм. Это соответствует 95% значений, поэтому одно стандартное отклонение равно 36 / 4 = 9 мм.

Теперь, когда мы знаем σ, можем найти Z-score:

Z = (55 - 50) / 9 ≈ 0.5556

Используя таблицу Z-score, найдем соответствующую вероятность для Z ≈ 0.56, которая составляет примерно 0.2881.

Ответ:
Вероятность того, что длина наудачу взятой детали будет более 55 мм, составляет примерно 0.2881 или около 28.81%.
от