Дано:
Количество участников конкурса (n₁) = 17
Количество задач (n₂) = 12
Требуется доказать, что обязательно найдутся три школьника, в объединении решившие все задачи.
Решение:
Предположим, что ни одна тройка участников не решила все задачи. Тогда для каждой задачи найдется как минимум 9 участников, которые не решили эту задачу (поскольку более половины участников решили каждую из задач). Таким образом, количество нерешенных задач для каждой тройки участников будет не менее 9.
Рассмотрим количество пар нерешенных задач. Общее количество пар задач равно C(12, 2) = 66. Поскольку для каждой пары задач имеется по крайней мере 9 участников, которые не решили обе задачи этой пары, то общее количество нерешенных пар задач составляет по крайней мере 66 * 9 = 594.
Однако, общее количество нерешенных пар задач не может превышать 594, так как всего задач 12 и участников 17. Это противоречие говорит о том, что наше предположение неверно.
Следовательно, обязательно найдутся три школьника, в объединении решившие все задачи.
Ответ:
Доказано, что обязательно найдутся три школьника, в объединении решившие все задачи.