Дано:
Функция затрат монополии: TC = 5Q + 0.25Q^2
Функции спроса на двух рынках: Q1 = 160 - P1; Q2 = 160 - 2P2
Найти:
1. Объемы продаж и цены на каждом рынке, при которых прибыль монополии будет максимальной.
2. Как изменятся объем продаж, цены и прибыль, если ценовая дискриминация запрещена государством.
Решение с расчетом:
1. Найдем прибыль монополии (π), вычитая из выручки (R) затраты (TC):
π = R - TC
Выручка (R) для каждого рынка выражается как произведение цены на количество товара:
R1 = P1 * Q1
R2 = P2 * Q2
Подставим функции спроса в формулу для выручки:
R1 = P1 * (160 - P1)
R2 = P2 * (160 - 2P2)
Теперь найдем общие затраты (TC) в зависимости от количества продукта (Q):
TC = 5Q + 0.25Q^2
Найдем производные по ценам P1 и P2 и приравняем их к нулю, чтобы найти оптимальные цены:
d(π1)/dP1 = 160 - 2P1 = 0
P1 = 80
d(π2)/dP2 = 160 - 4P2 = 0
P2 = 40
Теперь найдем соответствующее количество продукта для каждого рынка:
Q1 = 160 - P1
Q1 = 160 - 80
Q1 = 80
Q2 = 160 - 2P2
Q2 = 160 - 2*40
Q2 = 80
Теперь найдем прибыль монополии для каждого рынка:
π1 = R1 - TC
π1 = (80 * 80) - (5*80 + 0.25*80^2)
π1 = 6400 - 400 - 1600
π1 = 4400
π2 = R2 - TC
π2 = (40 * 80) - (5*80 + 0.25*80^2)
π2 = 3200 - 400 - 1600
π2 = 1200
Следовательно, прибыль будет максимальной при P1 = 80, P2 = 40, Q1 = 80, Q2 = 80, π1 = 4400, π2 = 1200.
2. Если ценовая дискриминация запрещена, монополист вынужден установить одинаковую цену на обоих рынках. В таком случае монополист выберет цену, которая максимизирует общую прибыль. Это может привести к увеличению объема продаж и снижению цены на каждом рынке, но общая прибыль может уменьшиться из-за установления более низкой цены.
Ответ:
1. При максимальной прибыли монополии, цены будут равны P1 = 80, P2 = 40, а объемы продаж Q1 = 80, Q2 = 80. Прибыль составит π1 = 4400 и π2 = 1200.
2. Если ценовая дискриминация запрещена, объемы продаж и цены на каждом рынке могут измениться, но общая прибыль может уменьшиться.