Можно ли нарисовать на плоскости 9 отрезков так, чтобы каждый пересекался ровно с тремя другими?
от

1 Ответ

Дано: Необходимо нарисовать на плоскости 9 отрезков.

Найти: Можно ли нарисовать их так, чтобы каждый пересекался ровно с тремя другими.

Решение:
Давайте воспользуемся формулой Эйлера для плоских графов:
[V - E + F = 2,]
где V - количество вершин, E - количество рёбер, F - количество граней.

Каждый раз, когда отрезок пересекает другой отрезок, это создает новую вершину и делит существующие рёбра на две части. Поэтому каждое пересечение добавляет одну вершину и делит каждое ребро пополам.

Если каждый отрезок пересекается с ровно тремя другими, то общее количество пересечений будет ( \frac{3E}{2} ) (так как каждое пересечение учитывается дважды). Таким образом, у нас есть ( \frac{3E}{2} ) вершин.

Суммируем по всем отрезкам, получаем общее количество вершин: ( \frac{3E}{2} = 2E ).

Теперь используем формулу Эйлера: ( V - E + F = 2 ).
Подставляем ( V = 2E ) и ( E = 9 ) (так как у нас 9 отрезков).
Тогда имеем: ( 2E - E + F = 2 ), откуда следует, что ( F = 7 ).

Однако, так как мы работаем на плоскости, у нас есть только одна внешняя грань, поэтому число граней равно 1. Таким образом, мы приходим к противоречию.

Ответ: Невозможно нарисовать 9 отрезков на плоскости так, чтобы каждый пересекался ровно с тремя другими.
от