Дано:
Три окружности с центрами в точках А, В, С касаются друг друга внешним образом. BC = 7 см, AB = 6 см, AC = 5 см, AV = 4 см, AC = 8 см, ВС = 6 см.
Найти:
Радиус окружности с центром в точке O.
Решение:
Пусть радиус окружности с центром в точке О равен r.
Так как окружности касаются друг друга внешним образом, расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов.
1. Найдем длины отрезков AO, BO и CO, где O - центр окружности:
AO = AV + VO = 4 + r,
BO = BV + VO = 6 + r,
CO = CV + VO = 8 + r.
2. Так как треугольник ABC является прямоугольным (согласно условию), применим теорему Пифагора:
AC² = AB² + BC²,
5² = 4² + 7²,
25 = 16 + 49,
25 = 65.
3. Теперь найдем длины отрезков AO, BO и CO через выражения с использованием радиуса r:
(4 + r)² + (r + 6)² = (7 + r)²,
16 + 8r + r² + r² + 12r + 36 = 49 + 14r + r²,
2r² + 20r + 52 = 14r + 49,
2r² + 6r + 3 = 0.
4. Решаем квадратное уравнение:
D = b² - 4ac = 6² - 4*2*3 = 36 - 24 = 12,
r₁,₂ = (-6 ± √12) / 4,
r₁,₂ = (-6 ± 2√3) / 4,
r₁ ≈ (-6 + 2√3) / 4,
r₁ ≈ (-3 + √3) / 2.
Ответ:
Радиус окружности с центром в точке O примерно равен (-3 + √3) / 2 см.