Дано:
Точка A(1, y, 1)
Точка B(2, 4, 3)
Точка C(-1, -2, -3)
Найти:
Значение y, чтобы все три точки лежали на одной прямой
Решение:
Если три точки лежат на одной прямой, то векторное произведение двух векторов, составленных из этих точек, равно нулю.
Вектор AB = (2-1, 4-y, 3-1) = (1, 4-y, 2)
Вектор AC = (-1-1, -2-y, -3-1) = (-2, -2-y, -4)
Вычислим векторное произведение векторов AB и AC:
i j k
1 4-y 2
-2 -2-y -4
i((4-y)(-4) - (2)(-2-y)) - j((1)(-4) - (2)(-2)) + k((1)(-2-y) - (4-y)(-2))
= i(-16 + 2(2+y)) - j(-4 + 4) + k(-2 -2y + 8 - 2y)
= i(-16 + 4 + 2y) - j(0) + k(6 - 4y)
= i(-12 + 2y) + k(6 - 4y)
Для того, чтобы векторы AB и AC были коллинеарными, их векторное произведение должно быть равно нулю. Значит:
-12 + 2y = 0
2y = 12
y = 6
Ответ:
Чтобы точки A, B и C лежали на одной прямой, значение y должно быть равно 6.