Дано:
Вершина A(16; 3)
Вершина B(22; 9)
Вершина C(16; 15)
Вершина D(10; 9)
Найти:
Доказать, что ABCD - прямоугольник, найти его площадь
Решение:
Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, необходимо убедиться, что противоположные стороны равны и углы противоположных сторон прямые.
1. Проверим, что стороны AD и BC, AB и CD имеют одинаковые длины:
AD = √((x_D - x_A)^2 + (y_D - y_A)^2) = √((-6)^2 + (6)^2) = √(36 + 36) = √72,
BC = √((x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2) = √((-6)^2 + (6)^2) = √(36 + 36) = √72,
AB = √((x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2) = √(6^2 + 6^2) = √(36 + 36) = √72,
CD = √((x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2) = √(6^2 + 6^2) = √(36 + 36) = √72.
Таким образом, AD = BC и AB = CD.
2. Проверим, что углы противоположных сторон прямые:
Уравнение прямой через точки A(16; 3) и B(22; 9): y = x - 13.
Уравнение прямой через точки B(22; 9) и C(16; 15): y = x - 7.
Уравнение прямой через точки C(16; 15) и D(10; 9): y = x + 1.
Уравнение прямой через точки D(10; 9) и A(16; 3): y = x - 5.
Таким образом, все углы противоположных сторон прямые.
Доказав, что противоположные стороны равны и углы противоположных сторон прямые, следовательно, ABCD - прямоугольник.
Теперь найдем площадь прямоугольника. Вычислим длины его сторон:
AB = √72, BC = √72.
Площадь прямоугольника S = AB * BC = (√72) * (√72) = 72.
Ответ:
Прямоугольник ABCD является прямоугольником, его площадь S = 72.