Дано: m1 = 1 кг, m2 = 2 кг, r = 1 м
Найти: время t
Решение:
Используем закон сохранения энергии:
(1/2) * m1 * v1^2 + (1/2) * m2 * v2^2 = m1 * g * h1 + m2 * g * h2
где v1 и v2 - скорости грузов, h1 и h2 - высоты грузов
Так как грузы связаны нитью и двигаются вместе, то их скорости v1 = v2 = v и h1 = h2 = h
(1/2) * m1 * v^2 + (1/2) * m2 * v^2 = (m1 + m2) * g * h
v^2 * (m1 + m2) = (m1 + m2) * g * h
v^2 = g * h
h = v^2 / g
Выразим высоту через расстояние между центрами масс:
h = r * (1 - cosα)
где α - угол поворота нити от вертикали
cosα = r / (2h)
cosα = r / (2v^2 / g)
cosα = g * r / (2v^2)
Так как cosα = 1 - 2sin^2(α/2), то sin(α/2) = √((1 - cosα) / 2)
sin(α/2) = √((2v^2 - g * r) / (4v^2))
sin(α/2) = √((2 - r / v^2) * g / 4)
Ускорение грузов:
a = m1 * g / (m1 + m2) = g / 3
Тогда v = a * t
v = g / 3 * t
Подставляем v в уравнение для sin(α/2):
sin(α/2) = √((2 - r / (g^2/9)) * g / 4)
sin(α/2) = √((18 - 9 / g^2) * g / 4)
sin(α/2) = 1/2
α/2 = π/6
α = π/3
Центры масс грузов окажутся на одной высоте через время, когда угол между грузами составит 60 градусов. Так как грузы движутся равномерно, то время равно половине периода, необходимого для совершения полного колебания. Полный период колебаний равен времени, за которое нить повернется на угол 2π, то есть T = 2π * r / v
T = 2π * r / (g / 3)
T = 2π * 1 / (9.8 / 3)
T = 2π * 1 / 3.27
T ≈ 1.92 c
Ответ: Центры масс этих грузов окажутся на одной высоте через примерно 1.92 секунды.