Дано:
Уравнения колебаний x = a*sin(ωt) и y = b*sin(ωt)
Найти:
Траекторию движения
Решение:
Для нахождения траектории движения точки, выразим x и y через параметры a, b и t:
x = a*sin(ωt)
y = b*sin(ωt)
Воспользуемся тригонометрическими тождествами для суммы углов:
sin(α) = (e^(i*α) - e^(-i*α)) / (2i)
sin(β) = (e^(i*β) - e^(-i*β)) / (2i)
Тогда x и y можно представить в виде комплексных экспонент:
x = Im((a + bi) * e^(iωt))
y = Im((a - bi) * e^(iωt))
Где Im(z) - мнимая часть комплексного числа z.
Выразим x и y через вещественные и мнимые компоненты a и b:
x = Im(a*e^(iωt) + bi*e^(iωt)) = a*sin(ωt) + b*cos(ωt)
y = Im(a*e^(iωt) - bi*e^(iωt)) = a*sin(ωt) - b*cos(ωt)
Таким образом, траектория движения точки описывается функцией:
(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
Это уравнение представляет собой эллипс с полуосями a и b.
Ответ:
Траектория движения точки описывается эллипсом с полуосями a и b.