Дано:
Начальная амплитуда затухающих колебаний маятника A0 = 3 см = 0.03 м
Амплитуда после t1 = 10 секунд, A1 = 1 см = 0.01 м
Желаемая амплитуда А2 = 0.3 см = 0.003 м
Найти:
Время t, через которое амплитуда колебаний станет равной A2
Решение:
Амплитуда затухающих колебаний описывается формулой:
A(t) = A0 * exp(-αt), где α - коэффициент затухания
Известно, что амплитуда колебаний уменьшается в экспоненциальном виде при затухании.
Мы можем записать отношение амплитуды к начальной амплитуде как:
A(t) / A0 = exp(-αt)
Таким образом, для t = t1 = 10 секунд имеем:
A1 / A0 = exp(-α*t1)
1 / 3 = exp(-10*α)
Для t = t2 (время, при котором A(t) = A2):
A2 / A0 = exp(-α*t2)
0.3 / 3 = exp(-α*t2)
0.1 = exp(-α*t2)
Разделим уравнения:
(1 / 3) / 0.1 = exp(-10*α) / exp(-α*t2)
3 = exp(-9α - 10α)
3 = exp(-19α)
ln(3) = -19α
α = -ln(3) / 19
Теперь можем решить для t2:
0.1 = exp(ln(3)*t2 / 19)
ln(0.1) = ln(3)*t2 / 19
-2.303 = 0.405*t2
t2 ≈ -2.303 / 0.405 ≈ -5.69 секунд
Ответ:
Через примерно 5.69 секунд амплитуда колебаний маятника станет равной 0.3 см.