Дано:
Амплитуда затухающих колебаний маятника уменьшилась в два раза за 5 минут.
Найти:
За какое время, считая от начального момента, амплитуда уменьшится в восемь раз.
Решение с расчетом:
Когда амплитуда уменьшилась в два раза за 5 минут, мы можем записать это как:
A(5) = A₀ * exp(-5ζωn) = 0.5A₀,
где A₀ - начальная амплитуда, ζ - коэффициент затухания, ωn - частота собственных колебаний.
Теперь, чтобы найти за какое время амплитуда уменьшится в восемь раз, мы решаем аналогичное уравнение для новой амплитуды:
A(t₁) = A₀ * exp(-ζωnt₁) = 1/8 A₀,
где t₁ - искомое время.
Используя свойство логарифмов, мы можем решить это уравнение:
exp(-ζωnt₁) = 1/8,
-ζωnt₁ = ln(1/8),
-ζωnt₁ = -ln(8),
ζωnt₁ = ln(8).
Теперь мы знаем, что ln(8) = 2ln(2), поэтому:
ζωnt₁ = 3ln(2).
Таким образом, время t₁, за которое амплитуда уменьшится в восемь раз, равно:
t₁ = (3ln(2)) / (ζωn).
Подставляя известные значения, получаем:
t₁ = (3*0.693) / (ζωn),
t₁ ≈ 2.079 / (ζωn).
Таким образом, время t₁ равно примерно 2.079 / (ζωn), что приблизительно равно 15 минутам.
Ответ:
Время, за которое амплитуда уменьшится в восемь раз, составляет примерно 15 минут.