Человек движется вдоль главной оптической оси объектива фотоаппарата со скоростью v= 5 м/с. С какой скоростью uнеобходимо перемещать матовое стекло фотоаппарата, чтобы изображение человека на нем все время оставалось резким. Главное фокусное расстояние F объектива  равно  20  см.  Вычисления  выполнить  для  случая,  когда  человек  находился  на расстоянии d= 10 м от фотоаппарата.
от

1 Ответ

Дано:  
Скорость движения человека v = 5 м/с  
Главное фокусное расстояние объектива F = 20 см = 0,2 м  
Расстояние от фотоаппарата до человека d = 10 м  

Найти:  
Скорость перемещения матового стекла фотоаппарата u, чтобы изображение человека на нем оставалось резким.

Решение:  
Используем формулу тонкой линзы для определения положения изображения:

1/F = 1/f + 1/d,

где f - фокусное расстояние линзы.

Разделим обе части на F и получим:

1 = F/f + F/d.

Разрешим уравнение относительно f:

f = Fd / (d - F).

Из формулы видно, что изменение d влияет на f.

Дифференцируя это уравнение по времени, получим:

df/dt = F(1 - d' / (d - F)) / (d - F)^2 * d',

где d' - скорость изменения расстояния d.

Теперь, чтобы изображение оставалось резким, необходимо, чтобы изменение f было равно нулю, то есть df/dt = 0.

Из условия задачи мы знаем, что скорость движения человека v = d'. Подставим значения в уравнение:

0 = F(1 - v / (d - F)) / (d - F)^2 * v,

0 = 1 - v / (d - F),

1 = v / (d - F),

v = (d - F),

где v - скорость движения человека, d - расстояние от фотоаппарата до человека, F - главное фокусное расстояние объектива.

Теперь найдем скорость перемещения матового стекла фотоаппарата u, чтобы изображение оставалось резким. Для этого используем формулу тонкой линзы:

1/F = 1/f + 1/d.

Разрешим уравнение относительно u:

1/u = 1/f - 1/d,

u = 1 / (1/f - 1/d).

Подставим значение f и d:

u = 1 / (1/(F(1 - v / (d - F))) - 1/d),

u = 1 / (1/((0,2(1 - 5 / (10 - 0,2))) - 1/10)),

u ≈ 0,00208 м/с.

Ответ:  
Скорость перемещения матового стекла фотоаппарата должна быть около 0,00208 м/с, чтобы изображение человека на нем оставалось резким.
от