Дано:
Скорость движения человека v = 5 м/с
Главное фокусное расстояние объектива F = 20 см = 0,2 м
Расстояние от фотоаппарата до человека d = 10 м
Найти:
Скорость перемещения матового стекла фотоаппарата u, чтобы изображение человека на нем оставалось резким.
Решение:
Используем формулу тонкой линзы для определения положения изображения:
1/F = 1/f + 1/d,
где f - фокусное расстояние линзы.
Разделим обе части на F и получим:
1 = F/f + F/d.
Разрешим уравнение относительно f:
f = Fd / (d - F).
Из формулы видно, что изменение d влияет на f.
Дифференцируя это уравнение по времени, получим:
df/dt = F(1 - d' / (d - F)) / (d - F)^2 * d',
где d' - скорость изменения расстояния d.
Теперь, чтобы изображение оставалось резким, необходимо, чтобы изменение f было равно нулю, то есть df/dt = 0.
Из условия задачи мы знаем, что скорость движения человека v = d'. Подставим значения в уравнение:
0 = F(1 - v / (d - F)) / (d - F)^2 * v,
0 = 1 - v / (d - F),
1 = v / (d - F),
v = (d - F),
где v - скорость движения человека, d - расстояние от фотоаппарата до человека, F - главное фокусное расстояние объектива.
Теперь найдем скорость перемещения матового стекла фотоаппарата u, чтобы изображение оставалось резким. Для этого используем формулу тонкой линзы:
1/F = 1/f + 1/d.
Разрешим уравнение относительно u:
1/u = 1/f - 1/d,
u = 1 / (1/f - 1/d).
Подставим значение f и d:
u = 1 / (1/(F(1 - v / (d - F))) - 1/d),
u = 1 / (1/((0,2(1 - 5 / (10 - 0,2))) - 1/10)),
u ≈ 0,00208 м/с.
Ответ:
Скорость перемещения матового стекла фотоаппарата должна быть около 0,00208 м/с, чтобы изображение человека на нем оставалось резким.