Question

Мальчик взял катушку ниток с «малым» диаметром (диаметром мотка) d = 3 см и «большим» диаметром (диаметр колёсиков, ограничивающих катушку) D = 5 см и перебросил её через калитку высотой H = 2 м, удерживая пальцами кончик нитки. Катушка проехала значительное расстояние вперёд по ровной дорожке, после чего мальчик начал медленно тянуть нитку на себя, что заставило катушку ехать обратно к калитке. Определите минимальное расстояние L до калитки, на которое сможет подъехать катушка до того, как начнёт проскальзывать.

Answer 1

Дано: d = 0.03 м, D = 0.05 м, H = 2 м

Найти: Минимальное расстояние L до калитки

Решение:
Когда катушка начнет проскальзывать, касательная к катушке в точке контакта будет вертикальной, и сила трения Fтр начнет действовать вниз. Эта сила трения будет создавать момент сил относительно оси катушки, который должен быть уравновешен моментом силы тяжести относительно этой же оси.

Момент силы тяжести катушки:
Mтж = mg * D/2

Момент силы трения:
Mтр = Fтр * D/2

Так как катушка находится в равновесии, то момент силы тяжести должен быть равен моменту силы трения:

mg * D/2 = Fтр * D/2

Отсюда находим силу трения:
Fтр = mg

Теперь можем выразить расстояние L:
Fтр = μN

где N - нормальная сила, μ - коэффициент трения.

Поскольку катушка находится в равновесии, то N = mg, тогда:
μmg = mg

Отсюда:
μ = 1

Теперь можем найти L, используя геометрические соображения. Расстояние L равно расстоянию от точки контакта с калиткой до точки опоры катушки на дорожке, учитывая, что катушка касается дорожки только в точке, где её радиус равен d/2:

L = H + D/2 - d/2

Подставляем значения:
L = 2 + 0.05/2 - 0.03/2

L = 2.025 м

Ответ: Минимальное расстояние L = 2.025 м.