Дано: период колебаний маятника на Земле T₁ = 2 секунды, сила тяжести на Луне g₂ = (1/6) * g₁, где g₁ - сила тяжести на Земле, длина нити увеличивается в 2 раза.
Найти: изменение следующих физических величин: период колебаний маятника T₂, максимальная потенциальная энергия мячика U_max, максимальное значение центростремительного ускорения a_max.
Решение:
А) Период колебаний маятника:
Так как период колебаний математического маятника связан с его длиной нити L следующим образом:
T = 2π * √(L / g),
то при увеличении длины нити в 2 раза, новый период колебаний будет:
T₂ = 2π * √((2L) / g).
Исходя из того, что T₁ = 2 секунды, имеем:
T₁ = 2π * √(L / g).
Выражаем исходную длину нити:
√(L / g) = T₁ / (2π).
Возводим обе части уравнения в квадрат:
L / g = (T₁ / (2π))^2,
L = ((T₁ / (2π))^2) * g.
Подставляем значения:
L = ((2 сек / (2π))^2) * g.
Вычисляем:
L ≈ 0.404 m.
Подставляем найденное значение исходной длины нити в формулу для нового периода колебаний:
T₂ = 2π * √((2L) / g),
T₂ ≈ 2π * √((2 * 0.404 m) / g).
Вычисляем:
T₂ ≈ 2π * √(0.808 m / (9.8 м/с²)),
T₂ ≈ 2π * √0.084 с,
T₂ ≈ 0.867 с.
Ответ: Период колебаний маятника после переноса на Луну составляет примерно 0.867 секунды.
Б) Максимальная потенциальная энергия мячика:
Максимальная потенциальная энергия мячика связана с его высотой h следующим образом:
U_max = m * g * h,
где m - масса мячика, g - сила тяжести.
На Земле сила тяжести равна g₁, а на Луне сила тяжести будет g₂ = (1/6) * g₁.
Длина нити маятника увеличивается в 2 раза, следовательно, высота мячика на Луне будет h₂ = 2 * h₁.
Подставляем значения:
U_max₂ = m * g₂ * h₂,
U_max₂ = m * ((1/6) * g₁) * (2 * h₁).
Упрощаем выражение:
U_max₂ = (2/6) * m * g₁ * h₁,
U_max₂ = (1/3) * m * g₁ * h₁.
Ответ: Максимальная потенциальная энергия мячика на Луне составит 1/3 от максимальной потенциальной энергии на Земле.
В) Максимальное значение центростремительного ускорения:
Максимальное значение центростремительного ускорения связано с максимальной скоростью v_max и радиусом r движения мячика следующим образом:
a_max = v_max² / r.
На Земле радиус r₁ не меняется.