Дано:
Начальная скорость (v0) = 20 м/с,
Ускорение свободного падения (g) = 9.81 м/с^2.
Найти:
а) Максимальную высоту, которую достигнет шарик (h_max);
б) Высоту, на которой кинетическая энергия шарика будет равна потенциальной (h_kп = h_p);
в) Высоту, на которой кинетическая энергия шарика уменьшится в p = 5 раз (h_kп_уменьшится);
г) Модуль скорости движения шарика на высоте h = 15 м (v_h=15).
Решение:
а) Для определения максимальной высоты используем закон сохранения энергии: начальная кинетическая энергия превращается в потенциальную энергию на максимальной высоте. Таким образом, кинетическая энергия в точке максимальной высоты будет равна 0. Поэтому максимальная высота, которую достигнет шарик, можно найти из уравнения потенциальной энергии:
mgh_max = mv0^2/2,
где m - масса шарика (которую мы не знаем и которая сократится при вычислениях),
h_max = v0^2/(2*g).
б) Потенциальная энергия шарика на высоте h равна mgh, а кинетическая энергия равна mv^2/2. Приравниваем их: mgh = mv^2/2. После сокращения массы получаем: gh = v^2/2. Решая это уравнение относительно h, получаем: h_kп = v^2/(2g).
в) Если кинетическая энергия уменьшается в p = 5 раз, то kп2 = kп1/p. Таким образом, находим h_kп_уменьшится из уравнения kп = mgh.
г) Чтобы найти модуль скорости на высоте h, воспользуемся законами сохранения энергии: кинетическая энергия в точке h равна разности начальной кинетической энергии и работы силы тяжести, то есть kп = kп0 - mgh. Решив это уравнение относительно скорости v, получим: v = sqrt(2gh + v0^2).
Ответ:
а) h_max = 20^2 / (2*9.81) ≈ 20.4 м;
б) h_kп = 20^2 / (2*9.81) ≈ 20.4 м;
в) h_kп_уменьшится = 20^2 / (5 * 2*9.81) ≈ 8.16 м;
г) v_h=15 = sqrt(2*9.81*15 + 20^2) ≈ 31.6 м/с.