Дано:
Промежуток [0;1]
Выбираются три числа наугад.
Найти:
Вероятность того, что сумма выбранных чисел будет меньше одного.
Решение:
Для решения этой задачи нам нужно определить область в пространстве элементарных событий, где сумма трех чисел будет меньше единицы, и затем вычислить отношение площади этой области к общей площади промежутка [0;1].
Давайте представим промежуток [0;1] в виде куба с длиной стороны 1. Тогда все возможные комбинации выбранных чисел будут представлять собой объем этого куба.
Теперь нам нужно найти область внутри этого куба, где сумма трех чисел будет меньше единицы. Это будет пирамида, ограниченная поверхностью куба и плоскостью x + y + z < 1.
Площадь основания пирамиды (проекция на плоскость xy) будет равна 1, так как это площадь квадрата со стороной 1.
Высота пирамиды (значение z) может изменяться от 0 до 1, так как сумма x и y не может превышать 1.
Таким образом, общая площадь пирамиды будет равна интегралу от 0 до 1 от (1 - x - y) по переменным x и y, что равно 1/2.
Итак, вероятность того, что сумма трех случайно выбранных чисел будет меньше единицы, равна отношению площади пирамиды к объему куба, то есть 1/2.
Ответ:
Вероятность того, что сумма трех случайно выбранных чисел будет меньше единицы: 1/2.