Дано:
Объем сосуда: V0 = 0,2 м^3
Начальная температура газа: T0 = 127 °C = 400 K
Начальное давление газа: P0 = 1 кПа = 1000 Па
Масса пробки: M = 150 г = 0,15 кг
Скорость пробки: u = 20 м/с
Найти:
Температуру газа при максимальном сжатии (T).
Решение:
Процесс сжатия газа пробкой является адиабатическим, поскольку система теплоизолирована.
Для адиабатического процесса справедливо уравнение:
P * V^γ = const
где γ - показатель адиабаты, для одноатомного идеального газа γ = 5/3.
Начальное состояние газа: P0 * V0^γ = const
Конечное состояние газа: P * V^γ = const, где V - минимальный объем, до которого сжимается газ.
Сохранение энергии: кинетическая энергия пробки переходит в потенциальную энергию сжатого газа:
1/2 * M * u^2 = (P * V - P0 * V0) / (γ - 1)
Из уравнения (2) выразим P:
P = P0 * (V0 / V)^γ
Подставим P в уравнение (5):
1/2 * M * u^2 = (P0 * (V0 / V)^γ * V - P0 * V0) / (γ - 1)
Упростим уравнение:
1/2 * M * u^2 * (γ - 1) = P0 * V0 * ((V0 / V)^(γ - 1) - 1)
Выразим (V0 / V)^(γ - 1):
(V0 / V)^(γ - 1) = 1 + 1/2 * M * u^2 * (γ - 1) / (P0 * V0)
Выразим V0 / V:
V0 / V = (1 + 1/2 * M * u^2 * (γ - 1) / (P0 * V0))^(1/(γ - 1))
Подставим V0 / V в уравнение (6), чтобы найти P:
P = P0 * (1 + 1/2 * M * u^2 * (γ - 1) / (P0 * V0))^(γ/(γ - 1))
Используем уравнение адиабатического процесса (P * V^γ = const), чтобы найти конечную температуру газа T:
T = T0 * (V0 / V)^(γ - 1)
Подставим V0 / V:
T = T0 * (1 + 1/2 * M * u^2 * (γ - 1) / (P0 * V0))
Подставим все известные значения:
T = 400 K * (1 + 1/2 * 0,15 кг * (20 м/с)^2 * (5/3 - 1) / (1000 Па * 0,2 м^3)) ≈ 460 K
Ответ:
Температура газа при максимальном сжатии равна примерно 460 K.