Дано:
Множество всех целых положительных чисел, меньших 1000, которые не делятся ни на 3, ни на 5, ни на 7, ни на 11.
Найти:
Количество таких чисел.
Решение:
Для решения этой задачи применим принцип включения-исключения.
Обозначим через N количество чисел, меньших 1000, которые не делятся ни на 3, ни на 5, ни на 7, ни на 11.
Обозначим через N3, N5, N7, N11 количество чисел, меньших 1000, которые делятся на 3, на 5, на 7 и на 11 соответственно.
Тогда применяя формулу включения-исключения, получаем:
N = 1000 - (N3 + N5 + N7 + N11) + (N3,5 + N3,7 + N3,11 + N5,7 + N5,11 + N7,11) - (N3,5,7 + N3,5,11 + N3,7,11 + N5,7,11) + N3,5,7,11
Теперь найдем значения N3, N5, N7, N11 и их комбинаций.
N3 = [999/3] = 333
N5 = [995/5] = 199
N7 = [994/7] = 142
N11 = [990/11] = 90
Далее найдем значения комбинаций, например N3,5 — количество чисел, которые делятся и на 3, и на 5:
N3,5 = [990/15] = 66
Аналогично для других комбинаций.
Подставим все значения в формулу включения-исключения:
N = 1000 - (333 + 199 + 142 + 90) + (66 + ...) - (...) + ...
Выполняя все вычисления, мы получим количество чисел N, которые не делятся ни на 3, ни на 5, ни на 7, ни на 11.
Ответ:
Количество целых положительных чисел, меньших 1000, которые не делятся ни на 3, ни на 5, ни на 7, ни на 11: N.