дано:
Натуральные числа меньше 91.
найти: Количество натуральных чисел, которые меньше 91 и не делятся ни на 3, ни на 5.
решение:
1. Определим общее количество натуральных чисел, меньших 91. Это числа от 1 до 90, следовательно, их количество:
N(total) = 90.
2. Теперь найдем количество чисел, которые делятся на 3. Эти числа формируют арифметическую прогрессию 3, 6, 9, ..., 90. Первое число a1 = 3, последнее число an = 90, разность d = 3.
Для нахождения количества членов прогрессии используем формулу:
n = (an - a1) / d + 1,
где n — количество членов.
Подставим значения:
n(3) = (90 - 3) / 3 + 1 = 87 / 3 + 1 = 29 + 1 = 30.
3. Теперь найдем количество чисел, которые делятся на 5. Эти числа формируют прогрессию 5, 10, 15, ..., 90. Первое число a1 = 5, последнее число an = 90, разность d = 5.
Используем ту же формулу:
n(5) = (90 - 5) / 5 + 1.
Подставим значения:
n(5) = (90 - 5) / 5 + 1 = 85 / 5 + 1 = 17 + 1 = 18.
4. Теперь найдем количество чисел, которые делятся одновременно на 3 и на 5 (то есть на 15). Эти числа формируют прогрессию 15, 30, 45, ..., 90. Первое число a1 = 15, последнее число an = 90, разность d = 15.
Используем ту же формулу:
n(15) = (90 - 15) / 15 + 1.
Подставим значения:
n(15) = (90 - 15) / 15 + 1 = 75 / 15 + 1 = 5 + 1 = 6.
5. Теперь применим принцип включения-исключения для нахождения количества чисел, которые делятся на 3 или на 5:
N(3 ∪ 5) = N(3) + N(5) - N(15),
N(3 ∪ 5) = 30 + 18 - 6 = 42.
6. Найдем количество чисел, которые не делятся ни на 3, ни на 5:
N(not 3 and not 5) = N(total) - N(3 ∪ 5),
N(not 3 and not 5) = 90 - 42 = 48.
ответ:
Количество натуральных чисел, которые меньше 91 и не делятся ни на 3, ни на 5, равно 48.