Дано:
Математическое ожидание случайной величины X (среднее значение): 20
Среднее квадратическое отклонение случайной величины X: 5
Найти:
Плотность вероятности X, функцию распределения X и вероятность того, что X примет значение в интервале (15, 25)
Решение:
Для нормально распределенной случайной величины X с математическим ожиданием μ и стандартным отклонением σ плотность вероятности задается формулой:
f(x) = 1 / (σ * sqrt(2π)) * exp(-((x - μ)^2) / (2σ^2))
где μ = 20 и σ = 5 в данном случае.
Функция распределения вероятности F(x) для нормального распределения может быть выражена через функцию ошибок:
F(x) = (1/2) * (1 + erf((x - μ) / (σ*sqrt(2))))
Теперь найдем вероятность того, что X примет значение в интервале (15, 25), используя функцию распределения вероятности:
P(15 < X < 25) = F(25) - F(15)
Подставим значения μ = 20 и σ = 5 в функции и найдем вероятность.
Ответ:
Плотность вероятности X задается формулой f(x) = 1 / (5 * sqrt(2π)) * exp(-((x - 20)^2) / 50)
Функция распределения вероятности F(x) = (1/2) * (1 + erf((x - 20) / (5*sqrt(2)))
Вероятность того, что X примет значение в интервале (15, 25) составляет P(15 < X < 25) = F(25) - F(15)