дано:
- Случайная величина X нормально распределена с параметрами a (математическое ожидание) и o^2 (дисперсия).
- Стандартное отклонение σ = o.
найти:
- Вероятности того, что значение случайной величины X попадет в указанные интервалы:
а) (a - o; a + o);
б) (a - 2o; a + 2o);
в) (a - 3o; a + 3o).
решение:
Сначала введем стандартную нормальную случайную величину Z, которая определяется как:
Z = (X - a) / o.
Тогда Z имеет стандартное нормальное распределение (математическое ожидание 0 и дисперсия 1).
Теперь воспользуемся таблицей стандартного нормального распределения для поиска вероятностей.
а) Найдем вероятность P(a - o < X < a + o):
P(a - o < X < a + o) = P((a - o - a)/o < Z < (a + o - a)/o)
= P(-1 < Z < 1).
По таблице стандартного нормального распределения:
P(Z < 1) ≈ 0.8413
P(Z < -1) ≈ 0.1587
Следовательно:
P(-1 < Z < 1) = P(Z < 1) - P(Z < -1)
= 0.8413 - 0.1587
= 0.6826.
б) Найдем вероятность P(a - 2o < X < a + 2o):
P(a - 2o < X < a + 2o) = P((a - 2o - a)/o < Z < (a + 2o - a)/o)
= P(-2 < Z < 2).
По таблице стандартного нормального распределения:
P(Z < 2) ≈ 0.9772
P(Z < -2) ≈ 0.0228
Следовательно:
P(-2 < Z < 2) = P(Z < 2) - P(Z < -2)
= 0.9772 - 0.0228
= 0.9544.
в) Найдем вероятность P(a - 3o < X < a + 3o):
P(a - 3o < X < a + 3o) = P((a - 3o - a)/o < Z < (a + 3o - a)/o)
= P(-3 < Z < 3).
По таблице стандартного нормального распределения:
P(Z < 3) ≈ 0.9987
P(Z < -3) ≈ 0.0013
Следовательно:
P(-3 < Z < 3) = P(Z < 3) - P(Z < -3)
= 0.9987 - 0.0013
= 0.9974.
ответ:
а) Вероятность P(a - o < X < a + o) ≈ 0.6826.
б) Вероятность P(a - 2o < X < a + 2o) ≈ 0.9544.
в) Вероятность P(a - 3o < X < a + 3o) ≈ 0.9974.