Дано:
Дисперсия случайной величины X (ошибка измерительного прибора): 25 мм^2
Найти:
Вероятность того, что при четырех независимых измерениях ошибка измерительного прибора ровно три раза окажется в интервале от 0.1 до 4.1 мм.
Решение:
Для нормально распределенной случайной величины X с дисперсией σ^2, вероятность попадания значения в интервале выражается через функцию распределения вероятности.
Так как систематическая ошибка отсутствует, будем предполагать, что вероятность попадания значения ошибки в данном интервале равна интегралу от функции плотности вероятности на этом интервале.
Пусть p - вероятность того, что значение ошибки попадет в интервал (0.1, 4.1), а q - вероятность того, что значение ошибки не попадет в данный интервал. Тогда вероятность того, что при четырех независимых измерениях ошибка окажется в интервале от 0.1 до 4.1 мм три раза можно найти по формуле Бернулли:
P(X=3) = C(4,3) * p^3 * q
Где C(n,k) - число сочетаний из n по k.
Теперь найдем вероятность p попадания в интервал и вероятность q непопадания в интервал, используя функцию распределения вероятности нормального распределения.
Ответ:
Вероятность того, что при четырех независимых измерениях ошибка измерительного прибора ровно три раза окажется в интервале от 0.1 до 4.1 мм составляет P(X=3) = C(4,3) * p^3 * q, где p и q находятся из функции распределения нормального закона.